درسنامه آموزشی فصل ششم ریاضی (2) کلاس یازدهم علوم تجربی

درس 2: محاسبه حد توابع

بازدید7/0 K

تاریخ بروزرسانی1400/06/5

یکی از عواملی که به مطالعهٔ دقیق‌تر یک تابع می‌تواند کمک کند، محاسبهٔ حد آن تابع است. برای محاسبهٔ حد یک تابع قواعد و دستورهایی وجود دارد. در این درس برخی از این قواعد به کمک شهود و با ذکر مثال توضیح داده می‌شوند.

1- حد تابع ثابت

حد تابع ثابت در هر نقطه برابر مقدار تابع ثابت است. به‌طور مثال: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f(x) = 2$.

به‌طور کلی اگر $c$ و $a$ دو عدد حقیقی باشند: $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} c = c$

2- حد تابع همانی

اگر $f(x)=x$، آنگاه $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} x = a$ $(a\in \mathbb{R})$

به طور مثال: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} x = 3$

حدهای زیر را حساب کنید:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} x =.......$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} 5 =.......$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x =.......$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} 0 =.......$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} (-2) =.......$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to -7} x =.......$

تاکنون برای محاسبهٔ حدّ یک تابع بیشتر از جدول‌ها و نمودارها بهره بردیم. در اینجا به کمک چند قانون، حد توابع را محاسبه می‌کنیم.

3- حد مجموع

اگر $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = m$ آنگاه:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = l + m$

به عبارت دیگر اگر دو تابع در یک نقطه حد داشته باشند، حد مجموع دو تابع در آن نقطه برابر مجموع حدهای آنها در همان نقطه است.

اگر $f(x) = x$ و $g(x) = 2x - 1$ آنگاه $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (f(x) + g(x))$ را به کمک قانون بالا محاسبه کنید. جاهای خالی را پر کنید و به کمک نمودارها قانون حد مجموع را نیز توضیح دهید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (f(x) + g(x)) = ...... + ......$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = ......$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = ......$

4- حد تفاضل

اگر $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = m$ آنگاه:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x) - g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} = f(x) - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = l - m$

به عبارت دیگر اگر دو تابع در یک نقطه حد داشته باشند، حد تفاضل دو تابع در آن نقطه برابر تفاضل حدهای آنها در همان نقطه است.

به‌طور مثال در «کار در کلاس» قبل داریم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (f(x) - g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} = f(x) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = 2 - 3 - 1$

5- حد حاصل ضرب

اگر $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = l$ آنگاه:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x).g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x).\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = lm$

به عبارت دیگر اگر دو تابع در یک نقطه حد داشته باشند، حد حاصل ضرب دو تابع در آن نقطه برابر ............... آنها در همان نقطه است.

اگر $c$ یک عدد ثابت و $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l$ آنگاه

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (cf(x)) = c\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = cl\,\,\,\,\,\,\,\,(a \in \mathbb{R})$

الف) اگر $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l$، به کمک قانون حد حاصل ضرب هریک از حدهای زیر را بیابید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {\left( {f(x)} \right)^2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {f(x).f(x)} \right) = ..........$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {\left( {f(x)} \right)^3} = ..........$

ب) برای محاسبهٔ حد $\mathop {\lim }\limits_{x \to 20} (\frac{2}{5}x - 3)$ چگونه از قوانین 2، 4 و 5 استفاده می کنید؟ توضیح دهید.

در حالت کلی اگر $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l$ و $n \in \mathbb{N}$ آنگاه:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {\left( {f(x)} \right)^n} = {\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)} \right)^n} = {l^n}$

6- حد تقسیم

اگر $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = m$ که $m \ne 0$ آنگاه:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right) = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x)}} = \frac{l}{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(m \ne 0)$

به عبارت دیگر اگر دو تابع در یک نقطه حد داشته باشند، حد تقسیم دو تابع در آن نقطه برابر تقسیم حدهای آنها در همان نقطه است؛ به شرط آنکه حد تابع مخرج در آن نقطه صفر نشود.

1) برای تابع $f$ با ضابطهٔ $f(x) = 3{x^2} + 2x - 7$،

الف) با تکمیل جاهای خالی $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)$ را به‌دست آورید.

$\begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (3{x^2} + 2x - 7) \hfill \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (3{x^2}) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (2x) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 7 \hfill \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^2} + ....... + ....... \hfill \\
\end{gathered} $

ب) $f(1)$ را محاسبه کنید و درستی تساوی $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)$ را بررسی کنید.

پ) دربارهٔ تابع با ضابطهٔ $g(x) = \frac{1}{8}{x^4} - {x^3} + 5x - \frac{1}{2}$، درستی تساوی $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = g(2)$ را بررسی کنید.

به‌طور کلی حد یک تابع چندجمله‌ای در یک نقطه با مقدار تابع در آن نقطه برابر است.

2) الف) مطلوب است: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - 4x + 1}}$. جاهای خالی را کامل کنید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - 4x + 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (2x - 1)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} ({x^2} - 4x + 1)}} = \frac{{..........}}{{..........}}$

ب) حدهای مقابل را حساب کنید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^4} + 2{x^3} + 1}}{{5{x^2} + \frac{2}{3}}} = ..........$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{\frac{3}{5}{x^2} - 2x + 1}} = ..........$

به‌طور کلی اگر $f(x) = \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ یک تابع گویا باشد که $P(x)$ و $Q(x)$ دو چندجمله‌ای هستند، برای محاسبهٔ حد $f(x)$ در نقطه‌ای مانند $a$ کافی است که حد $P(x)$ را بر حد $Q(x)$ در آن نقطه تقسیم کنیم؛ به شرط آنکه $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} Q(x) \ne 0$

اگر در محاسبهٔ $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ که $P(x)$ و $Q(x)$ دو چندجمله‌ای‌اند، داشته باشیم: $P(a) = Q(a) = 0$ دیگر با قانون اخیر نمی‌توان حد را محاسبه کرد. در این حالت به روش زیر عمل می‌کنیم:

اگر $P(a) = Q(a) = 0$ در این صورت $P(x)$ و $Q(x)$ بر $x - a$ بخش‌پذیرند. ابتدا عبارت $\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ را با تقسیم $P(x)$ و $Q(x)$ بر $x - a$ ساده می‌کنیم و سپس امکان استفاده از قانون تقسیم حدها را بررسی می‌کنیم.

مثال: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}$ را محاسبه کنید.

داریم: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x - 2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^2} - 4) = 0$،

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x + 2)(x - 2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 2) = 4$

توجه داریم که وقتی $x$ به 2 نزدیک می‌شود، $x \ne 2$ پس $x - 2 \ne 0$ و صورت و مخرج کسر را می‌توانیم بر $x - 2$ تقسیم کنیم. در نمودارهای زیر توابع $f(x) = \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}$ و $g(x) = x + 2$ رسم و حد آنها در $x = 2$ نمایش داده شده است.

دو تابع $g$ و $f$ برابر نیستند (چرا؟)؛ ولی حد آنها در $x = 2$ برابر است.

مانند مثال قبل حدها را محاسبه کنید؛ سپس به کمک نمودارها نیز محاسبهٔ حد را توضیح دهید.

$\begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} + 5x + 6}}{{x + 2}} \hfill \\
= \lim \frac{{(......)(......)}}{{(......)}} \hfill \\
\end{gathered} $ (الف

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}}$ (ب

7- حد ریشه

اگر $\mathop {\lim }\limits_{x \to c} (ax + b) = l \gt 0$ آنگاه:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \sqrt {ax + b} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to c} ax + b} = \sqrt l $

تذکر: تمام قوانینی که در این درس درباره حد مطرح شد، برای حد راست و حد چپ تابع نیز برقرار است.

مثال: مطلوب است: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \sqrt {2x - 6} $

حل: به کمک دستور فوق داریم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} (2x - 6) = 4 \gt 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \sqrt {2x - 6} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} (2x - 6)} = \sqrt 4 = 2$

1) نمودارهای توابع با ضابطه‌های $f(x) = \sqrt {2x - 6} $ و $g(x) = \sqrt {2x - 6} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(x \ne 5)$ رسم شده‌اند.

الف) هر نمودار به کدام تابع تعلق دارد؟

ب) آیا $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f(x)$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} g(x)$ موجودند؟

پ) کدام یک از حدهای زیر موجودند؟ آنها را محاسبه کنید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \sqrt {2x - 6} = .......$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \sqrt {2x - 6} = .......$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {2x - 6} = .......$

2) دربارهٔ تابع $h(x) = \frac{{\left| x \right|}}{x}$ درستی یا نادرستی گزاره‌های زیر را بررسی کنید.

الف) $h(x) = 1$
ب) ${D_h} = \mathbb{R} - \left\{ 0 \right\}$
پ) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} h(x) = 1$
ت) $h(0) = 0$
ث) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} h(x)$ وجود ندارد.

3) با استفاده از نمودار تابع $f(x) = \left[ x \right]$ حدهای زیر را در صورت وجود بیابید.

الف) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ x \right]$
ب) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left[ x \right]$
پ) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ x \right]$
ت) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ x \right]$
ث) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1/5} \left[ x \right]$
ج) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 2 } \left[ x \right]$

4) حدهای زیر را در صورت وجود به‌دست آورید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left[ x \right]}}{x}$ (الف
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left[ x \right] - 3}}{x}$ (ب

حدهای مثلثاتی

با استفاده از نمودار $f(x) = \sin x$ و $g(x) = \cos x$ حدهای زیر را بیابید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \sin x$ (الف
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \pi } \sin x$ (ب
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{{\pi ^ - }}}{3}} \sin x$ (پ
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi ^ + }} \sin x$ (ت
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos x$ (ث
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{{\pi ^ - }}}{4}} \cos x$ (ج
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{ - \pi }}{2}} \cos x$ (چ
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{{\pi ^ + }}}{3}} \cos x$ (ح

به طور کلی داریم: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } \cos x = \cos \alpha \,\,,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } \sin x = \sin \alpha $

مثال: به کمک دستورهایی که در این درس آموخته‌اید، حدهای زیر را در صورت وجود محاسبه کنید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x}}{{2 + \sin x}}$ (الف
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{\sin x\cos x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}$ (ب

حل:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x}}{{2 + \sin x}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos x}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (2 + \sin x)}} = \frac{1}{2}$ (الف

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{\sin x\cos x}}{{1 + {{\cos }^2}x}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } (\sin x\cos x)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } (1 + {{\cos }^2}x)}} = \frac{{0( - 1)}}{2} = 0$ (ب

1) با استفاده از قوانین حد و نمودارهای $f$ و $g$ حدهای زیر را (در صورت وجود) به‌دست آورید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x)$ (الف

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f(x)$ (ب

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} g(x)$ (پ

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {f(x) + g(x)} \right)$ (ت

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {f(x) + g(x)} \right)$ (ث

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {2f(x) + 5g(x)} \right)$ (ج

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {f(x)} \right)^4}$ (چ

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {g(x)} \right)^2}$ (ح

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}$ (خ

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \left( {f(x).g(x)} \right)$ (د

2) دو تابع متفاوت مثال بزنید که در یک نقطه دارای حدهای برابر باشند.

3) حدهای زیر را در صورت وجود محاسبه کنید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} ( - 3)$ (الف

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ( - 2x - 7)$ (ب

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} (3{x^2} - 4x + 5)$ (پ

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 3x}}{{{x^2} - 9}}$ (ت

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{2{x^2} - x}}$ (ث

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^3} + 8}}{{x + 2}}$ (ج

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left[ x \right]$ (چ

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x $ (ح

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {x + 7} $ (خ

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \sqrt x $ (د

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {x + 5} $ (ذ

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sqrt {x - 2} $ (ر

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{x - 2}}{{\left[ x \right] + 1}}$ (ز

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \frac{\pi }{3}} \cos x$ (ژ

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} (\sin x + \cos x)$ (س

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{x}{{\left[ x \right]}}$ (ش

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + x - 6}}{{{x^2} - 6x + 8}}$ (ص

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x + \left[ x \right])$ (ض

4) اگر $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 3$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = 0$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h(x) = - 1$ حدهای زیر را در صورت وجود بیابید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {f(x) + h(x)} \right)$ (الف

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {\left( {h(x)} \right)^5}$ (ب

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}$ (پ

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{g(x)}}{{f(x)}}$ (ت

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{3f(x)}}{{g(x) - 5h(x)}}$ (ث

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{h(x)}}$ (ج

5) نمودار دو تابع $f(x) = \frac{{\left| {x - 3} \right|}}{{x - 3}}$ و $g(x) = 1$ را رسم کنید. آیا $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x)$ موجود است؟ (چرا؟) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} g(x)$ چطور؟ در چه نقاطی حد دو تابع با هم برابرند؟

6) در هر یک از حالت‌های زیر دربارهٔ حد تابع $f + g$ چه می‌توان گفت؟

الف) اگر توابع $f$ و $g$ هیچ کدام در نقطه‌ای مانند $a$ حد نداشته باشند.
الف) اگر تابع $f$ در $a$ حد داشته باشد ولی تابع $g$ در $a$ حد نداشته باشد.

7) اگر $m$ یک عدد صحیح باشد، حدهای زیر را در صورت وجود محاسبه کنید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {m^ + }} \left[ x \right]$ (الف
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {m^ - }} \left[ x \right]$ (ب
$\mathop {\lim }\limits_{x \to m} \left[ x \right]$ (پ

به‌طور کلی تابع $f(x) = \left[ x \right]$ در چه نقاطی حد دارد؟

درسنامه آموزشی فصل ششم ریاضی (2) کلاس یازدهم علوم تجربی

درس 2: محاسبه حد توابع

1- حد تابع ثابت

2- حد تابع همانی

کار در کلاس (صفحه 128 کتاب درسی)

3- حد مجموع

کار در کلاس (صفحه 129 کتاب درسی)

4- حد تفاضل

5- حد حاصل ضرب

کار در کلاس (صفحه 130 کتاب درسی)

6- حد تقسیم

فعالیت (صفحه 131 تا 132 کتاب درسی)

کار در کلاس (صفحه 132 تا 133 کتاب درسی)

7- حد ریشه

کار در کلاس (صفحه 133 تا 134 کتاب درسی)

حدهای مثلثاتی

فعالیت (صفحه 134 کتاب درسی)

تمرین (صفحه 135 تا 136 کتاب درسی)